两张小票，够不够算出单价？#

买 2 杯奶茶和 1 个面包共 19 元，买 1 杯奶茶和 2 个面包共 17 元。设单价为 $x,y$，方程为 $2x+y=19$、$x+2y=17$。

把第二式乘 2 再减第一式，得 $3y=15$，所以面包 5 元、奶茶 7 元。这一步消元，就是消去两个订单里重复的信息。

但如果第二张小票是“4 杯奶茶、2 个面包、38 元”，它只是第一张翻倍，没有新信息，单价就算不唯一。如果价格记成 39 元，则两张小票互相矛盾。无穷多解、唯一解和无解，在这里分别对应信息不够、信息刚好和信息冲突。

消元是在把混合信息拆开#

对奶茶与面包的两条方程，先写成

第二式乘 2 减第一式，相当于比较两个奶茶数量相同的订单，奶茶费用就抵消，只剩三份面包值 15 元。消元并不是随意摆弄行，而是构造能隔离未知信息的新测量。

每次允许的行操作都能逆过来：交换两行再交换回来；乘非零数再除回去；加上一行再减回去。所以这些操作不会凭空删除或增加解。

无穷多解究竟长什么样#

若你只知道 $x+y=10$，设 $y=t$，则 $x=10-t$。所有解为

第一项是任选的一个具体解；后面的方向表示你可以把 1 元从一种商品挪到另一种，订单总价却不变。这个不改变输出的方向，就是零空间。

对一般 $Ax=b$，一旦找到特解 $x_p$，所有其他解与它的差都会满足 $Az=0$。因此全部解是“一个起点 + 所有看不见的方向”。这个结构比孤立记住无穷多解更有用。

方程的四个空间分别在看什么#

列空间：机器能制造哪些输出。核：哪些输入变化完全不影响输出。行空间：输入里能被测量到的线性信息。左零空间：哪些输出读数之间存在必然关系。

例如第二张小票始终是第一张的两倍，则所有合法输出 $(b_1,b_2)$ 都满足 $b_2-2b_1=0$。向量 $(-2,1)$ 就在左零空间；它像一条核验规则。若某张记录违反这条规则，方程立即无解。

所以“相容性”并非一个抽象判词，它是在问测量结果是否通过了机器自身必然满足的校验。

带你做：用输出校验规则判断订单是否可能#

机器把 $(x,y)$ 变为 $(x+y,2x+2y)$。无论输入是什么，第二个输出必为第一个的两倍。

观测 $(3,6)$ 合法，解为 $(t,3-t)$；观测 $(3,7)$ 不合法，找不到精确输入。左零空间里的 $(-2,1)$ 会给合法输出读数零，却给 $(3,7)$ 读数 1，直接发现矛盾。

再给输入增加 $(1,-1)$，输出不变，因此这是核中的方向。这说明一台机器可以同时有“无法区分的输入变化”与“输出必须满足的关系”，核和左零空间分处输入端和输出端，不能混为同一个集合。

若测量有噪声，观测违反校验并不一定说明设备坏了，也可能只是噪声把它推离像空间。接下来的最小二乘会找离观测最近的合法输出。

回头整理：定义、工具与练习#