把照片横向拉宽，会发生什么？#

照片里的一个像素相对中心的位置是 $(x,y)$。横向拉宽两倍、竖向不变后，它到达 $(2x,y)$；原来在 $(3,1)$ 的小猫耳朵会到 $(6,1)$。

如果接着逆时针旋转 90 度，位置变成 $(-y,2x)$。若先旋转再横向拉宽，结果则是 $(-2y,x)$。同样两步，顺序不同，照片形状就不同。这正是矩阵乘法不能随意交换顺序的原因。

一张照片有上百万像素，但不必逐个发明规则。对线性变换，只要交代“向右一步”和“向上一步”各变成什么方向，整张图的所有点就确定了。矩阵的两列记录的就是这两个回答。

不用背行乘列，自己推出矩阵乘向量#

设图片变换把“向右一步”送到 $(2,1)$，把“向上一步”送到 $(-1,1)$。像素 $(3,2)$ 原来可分成三步向右、两步向上。

如果机器保持线性组合，输出就必须是

把两个基本输出排成列，就得到 $A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}$。对任意输入 $(x,y)$，输出为 $(2x-y,x+y)$。熟悉的行乘列规则正是把这一结果按坐标整理，并不是独立发明的运算法。

为什么两列不够描述任意图片变形#

假设一个变形把 $(x,y)$ 送到 $(x,y+x^2)$。它对两个基向量的输出为 $(1,1)$ 和 $(0,1)$。如果你错误地用这两列组成矩阵，会预测 $(2,0)$ 到 $(2,2)$；真实输出却是 $(2,4)$。

原因是这台机器不保持数乘：把输入加倍，输出并不整体加倍。只有先核验线性，两列才足以说明全部行为。照片的透视变换、镜头畸变等也不能随意套用普通二维线性模型。

把矩阵乘法逐列推出来#

令 $B$ 先把 $e_1,e_2$ 分别送到 $b_1,b_2$，再交给 $A$。整台串联机器的两列自然就是 $Ab_1,Ab_2$。这便是 $AB$。

例如 $B$ 横向放大两倍，$A$ 旋转 90 度，有

把输入 $(1,0)$ 实际走一遍：先到 $(2,0)$，再到 $(0,2)$，正是乘积第一列。做一次这种追踪，比凭符号猜先后顺序更可靠。

非方阵：一台机器也可以改变数据项数#

一张商品表有三种数量，收银员只输出总重量和总价，就需要三维输入、二维输出，矩阵形状为 $2\times3$。列数对应输入项目，行数对应输出读数。

因此矩阵不必方形；方阵只是输入输出使用同样数量坐标时的特殊情形。后面的核与像，就是继续问这台机器保留了哪些信息、丢掉了哪些信息。

带你做：配方输入怎样变成成本与重量#

一种零件每个重 2 千克、成本 5 元，另一种重 3 千克、成本 4 元。输入 $x=(a,b)$ 是数量，输出为总重量与总成本：

第一列记录只买第一种一个时的结果，第二列记录只买第二种一个时的结果。买 $(2,1)$ 时，输出为 $(7,14)$，单位分别是千克、元。

如果最后还要加一次性运费 6 元，输出变为 $(2a+3b,5a+4b+6)$，它不再是线性映射，因为零订单也被模型收取 6 元，零向量没有映到零。

这给了一个最容易操作的检查：先问“什么都不输入时，是否真的输出零”。若不是，就需要仿射模型或额外状态，而不是硬把所有常数塞进原来的线性矩阵。

回头整理：定义、工具与练习#