微积分 09｜约束优化与向量分析

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微积分 09｜约束优化与向量分析

2026-11-03

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微积分

只有 20 米围栏，怎样围出最大菜地？#

先只考虑长方形，长宽为 $x,y>0$ 。围栏给出 $2x+2y=20$ ，你不能同时随意增大两边，因为总长度已经固定。

面积 $A=xy=x(10-x)=25-(x-5)^2$ ，所以 5 米乘 5 米时最大，为 25 平方米。约束优化就是在“允许的选择”里找最好，而不是在整个平面乱找。

Lagrange 乘子把这件事推广到更复杂的约束。读到梯度平行时，可以想象你沿着围栏长度不变的方向调整尺寸：到最优点后，任何这样的小调整都不能再一阶提高面积。

围栏约束为 $g(x,y)=2x+2y-20=0$ 。允许的小调整 $(a,b)$ 必须满足 $2a+2b=0$ ，也就是加长多少就缩短多少。

面积 $f=xy$ 的一阶变化为 $ya+xb$ 。在最优位置，它对每个允许调整都应为零；代入 $b=-a$ ，得到 $(y-x)a=0$ ，所以 $x=y$ 。这里直接得到正方形，不需要先背乘子法。

几何上，所有允许的小调整构成一条切方向。 $\nabla g$ 与这个方向垂直，最优点的 $\nabla f$ 也必须垂直，于是二者平行。多约束情形同理，只是切空间和法向量会更多。

你沿水平方向拖箱子 2 米，施加 10 牛顿的力，但力与水平方向夹角为 60 度。真正沿位移方向的力只有 $10\cos60^\circ=5$ 牛顿，所以功为 10 焦耳。

把位移分成小段，逐段做 $F\cdot\Delta x$ 再相加，就得到向量场的曲线积分。路径拐弯时，每一段方向不同，不能只把“力的大小 × 总路程”当作功。

在理想重力场中，从同一高度搬到另一高度，重力做功只看高度差；路上怎么绕不改变结果。这对应梯度场和势能函数。

但沿环形水流划一圈，可能一路都得到同向推力，回到原点后仍有非零做功。这样的环流不能由一个全局单值势函数描述。Green、Stokes 和 Gauss 定理分别把不同的边界累积与内部变化联系起来；它们的共同用途，是选择更容易计算的一边。

沿单位圆上半圈从 $(1,0)$ 走到 $(-1,0)$ ，参数为 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t)$ ， $0\le t\le\pi$ 。因为 $\|\gamma'(t)\|=1$ ，路程为 $\pi$ 。

如果受恒力 $F=(1,0)$ ，做功为 $\int_0^\pi F\cdot\gamma'(t)dt=\int_0^\pi-\sin t\,dt=-2$ 。路程是正数，功却为负，因为总体运动方向与力相反。

若把路线倒过来，路程仍为 $\pi$ ，功变成 2。用这组数字检查自己是否分清标量弧长积分与向量做功积分，往往比背两个长定义更有效。

同一个恒力是势函数 $\phi=x$ 的梯度，所以做功只看终点减起点，即 $-1-1=-2$ 。换一条绕路仍如此；但前面提到的环流场没有全局单值势函数，就不能这样省略路径。

求 $f(x)$ 在 $g(x)=0$ 上的极值。若 $f,g$ 可微，极值点 $x_*$ 满足 $\nabla g(x_*)\ne0$ ，则存在乘子 $\lambda$ 使

\nabla f(x_*)=\lambda\nabla g(x_*).

原因是沿约束曲面的切方向， $g$ 的一阶变化为零， $f$ 在极值点的变化也为零，所以二者梯度都垂直于切空间。多个等式约束时，需约束梯度线性无关。

例：在 $x^2+y^2=1$ 上最大化 $x+y$ ，由 $(1,1)=2\lambda(x,y)$ 得候选点 $\pm(1,1)/\sqrt2$ ，最大值为 $\sqrt2$ 。乘子方程只产生候选点，还应检查取值及边界、退化情形。

曲线 $\gamma(t)$ （ $a\le t\le b$ ）上的标量积分为

\int_\gamma f\,ds=\int_a^bf(\gamma(t))\|\gamma'(t)\|\,dt.

向量场的做功积分为

\int_\gamma F\cdot dx=\int_a^bF(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)\,dt.

前者不因反向改变，后者反向会变号。若 $F=\nabla\phi$ ，链式法则给出路径积分只取决于端点： $\phi(\gamma(b))-\phi(\gamma(a))$ 。

在区域与场足够光滑、方向约定一致的条件下：

定理	等式	含义
Green	$\oint_{\partial D}Pdx+Qdy=\iint_D(Q_x-P_y)dxdy$	平面边界环流与内部旋转
Gauss	$\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,dS=\iiint_\Omega\nabla\cdot F\,dV$	向外通量与内部散度
Stokes	$\oint_{\partial S}F\cdot dx=\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS$	边界环流与曲面旋度