一张人口密度图，怎样算全城人口？#

地图上的颜色表示每平方公里住多少人。只看最红的区域不能得到总人口，必须用每小块的“密度 × 面积”相加。

例如矩形城区长 2 公里、宽 1 公里，密度为 $\rho(x,y)=1000+500x$ 人/平方公里。那么人口为

若把地图坐标改成圆心距离与角度，相同的距离格和角度格并不对应相同面积：越远离圆心，一格越宽。这就是极坐标积分要乘 $r$ 的原因；坐标格不是土地面积本身。

把人口统计真的拆成小格#

把城区分成四块，每块面积 0.5 平方公里。如果四块平均密度分别为 1000、1250、1500、1750，那么总人口估计为 $0.5(1000+1250+1500+1750)=2750$。

更精细的模型不依赖这四个估计，而是让网格不断变小，每格用当地密度乘面积。二维积分的本质仍是“速率式的量 × 对应小体积，再累加”，只是现在需要两个方向的位置。

非矩形区域为什么会出现随变量改变的上下限#

假设一片三角地界为 $0\le y\le x\le1$。固定一个横坐标 $x=0.2$，竖条长度是 0.2；固定 $x=0.8$，长度是 0.8。所以先沿竖条积分时，上限必须是当前的 $x$，不能固定成 1，否则会多算三角形外的土地。

换积分顺序时，先固定 $y$，允许的横坐标变成 $y\le x\le1$。因此同一片地可写为

这里先假设 $f$ 连续。画边界、固定一条截线、找到它穿过的端点，比机械交换 $dx,dy$ 可靠。

为什么远处的一度比近处的一度覆盖更多土地#

在半径 $r$ 处，角宽 $\Delta\theta$ 的小扇环沿圆周的宽度约为 $r\Delta\theta$，径向厚度为 $\Delta r$，小面积约为 $r\Delta r\Delta\theta$。这个多出来的 $r$ 不是换元公式的装饰，而是由实际土地宽度决定的。

同理，普通地图的一个经纬度小格在不同纬度也不代表相同地表面积。积分坐标可以任意选，但每格对应的实际权重必须正确。Jacobian 行列式是把这种局部体积修正统一写出的办法。

带你做：随机落点离圆心多远#

在单位圆盘内均匀随机选一点。离圆心的距离 $R$ 在 0 与 1 之间，但它不是均匀分布：外圈有更多面积。

半径不超过 $r$ 的概率等于小圆面积除以大圆面积，为 $r^2$。所以距离的密度是 $2r$，平均距离为

若错误地把半径当成均匀分布，会得到 $1/2$，相当于过度偏爱靠近圆心的地方。用极坐标再算一次：均匀面积密度为 $1/\pi$，平均距离是 $\pi^{-1}\int_0^{2\pi}\int_0^1r\cdot r\,drd\theta=2/3$。

两个 $r$ 各有工作：一个是你要平均的距离，另一个是坐标换元后的面积权重。这道题把几何、Jacobian 和概率密度连在同一次计算里。

回头整理：定义、工具与练习#