微积分 10｜微分方程、数值方法与复习

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微积分 10｜微分方程、数值方法与复习

2026-11-03

数学

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微积分

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热咖啡放在桌上，十分钟后有多热？#

房间温度 20°C，咖啡刚倒出时 90°C。一个简单模型是：咖啡越比房间热，降温越快。写成 $T'(t)=-0.1(T(t)-20)$ ，时间以分钟计。

解为 $T(t)=20+70e^{-0.1t}$ ，所以 10 分钟后约 45.8°C。微分方程把“每一刻按什么规则变化”转成“整段时间的温度轨迹”。

如果只用每分钟一次的粗略更新，公式是 $T_{k+1}=T_k-0.1(T_k-20)$ 。这就是 Euler 法。它算起来简单，但每一步都积累近似误差；步子过大时，甚至可能算出咖啡温度在室温两侧来回乱跳。

咖啡降温方程怎样解出来#

先令 $z=T-20$ ，把“比室温高多少”当作新变量。原方程成为 $z'=-0.1z$ 。在 $z>0$ 的这条解上，除以 $z$ 再积分：

\frac{z'}z=-0.1 \Longrightarrow\log z=-0.1t+C \Longrightarrow z=Ce^{-0.1t}.

初始超出室温 70°C，故 $C=70$ 。最后把室温加回去，得到 $T=20+70e^{-0.1t}$ 。这里每一步都能检查：代回求导，看是否满足方程；代入零点，看是否满足初始条件。

不会解公式，也能一步步算#

Euler 法每一步都假设“接下来这一小段继续按当前降温速率变化”。取步长 1 分钟，首步 $T_1=90-0.1(90-20)=83$ ；第二步 $T_2=83-0.1(83-20)=76.7$ 。

精确模型在 1 分钟时为约 83.34°C，所以首步少算约 0.34°C。原因是这一分钟里温差不断变小，真实降温速度也在减小，而 Euler 法整分钟都沿用较快的初始速率。

步长改成半分钟可以减少这种局部失真，但计算步数增加。数值方法不是另一套神秘公式，而是反复使用“导数给局部直线”这个我们已经建立的想法。

存在、唯一和算得稳是三个问题#

先问模型有没有轨迹，再问同一初始温度会不会有两条不同轨迹，最后问输入温度和数值舍入误差是否被放大。一个显式公式能同时帮你核对三者，但一般方程未必有公式。

这就是泛函分析值得学习的原因之一：它可以在没有写出解的情况下，通过空间结构证明解存在唯一，并给出误差上界。下一步的压缩映射，就是把迭代过程本身当成证明。

带你做：为什么一次走太远会把冷却算炸#

对超出室温的温差 $z'=-0.1z$ ，Euler 法步长为 $h$ 分钟时， $z_{k+1}=(1-0.1h)z_k$ 。

取 $h=5$ ，每步乘 0.5，温差保持正值并衰减。取 $h=15$ ，每步乘 $-0.5$ ，数值上会在室温两边交替，虽然幅度衰减，却已经不符合这个冷却模型的实际单调行为。取 $h=25$ ，每步乘 $-1.5$ ，误差幅度还会越来越大。

因此 $0<h<20$ 只保证这条线性测试方程的幅度稳定；若还要求不出现符号翻转，需要 $h\le10$ ，若要高精度通常还要更小。稳定、保留物理形态和足够准确，是逐渐加强的不同要求。

这里真正值得带走的习惯是：不能看到递推公式能跑就认为算法可靠。先拿一个有明确解的简单模型检查，再研究一般误差，这样的验证在今后的计算工作里也非常实用。

回头整理：定义、工具与练习#

把未知数换成未知函数#

初值问题

y'(t)=F(t,y(t)),\qquad y(0)=y_0

寻找整条轨道。若 $F$ 在初始点附近连续，且对 $y$ 局部 Lipschitz，则存在局部唯一解；连续性本身不足以保证唯一。

例如 $y'=2\sqrt{|y|}$ 、 $y(0)=0$ 既有恒零解，又有先保持零、从某个 $c\ge0$ 开始取 $(t-c)^2$ 的解。零点处缺少 Lipschitz 控制。

两种基本解法#

可分离变量例： $y'=ty$ ，由 $y(t)=Ce^{t^2/2}$ 验证通解。通过除以 $y$ 推导时，应另外检查 $y=0$ ，最终它对应 $C=0$ 。

一阶线性方程 $y'+a(t)y=b(t)$ ，乘以积分因子 $\mu(t)=e^{\int a(t)dt}$ ，变成 $(\mu y)'=\mu b$ 。例如 $y'+y=1,y(0)=0$ 得 $y=1-e^{-t}$ 。

Picard 迭代连接泛函分析#

把微分方程改写成

y(t)=y_0+\int_0^tF(s,y(s))\,ds.

右边定义一个把函数变成函数的映射。若在合适的闭函数集合上它保持集合不变，且时间区间短到使 Lipschitz 常数乘区间长度小于 1，就能用压缩映射原理证明存在唯一解。学习 Banach 空间与压缩映射后可重读这个过程。

数值近似的误差#

显式 Euler 法： $y_{k+1}=y_k+hF(t_k,y_k)$ 。在解和 $F$ 具有足够光滑性与 Lipschitz 控制、固定有限时间区间的条件下，单步截断误差为 $O(h^2)$ ，累计全局误差为 $O(h)$ 。

误差阶与稳定性不同。对 $y'=-\lambda y$ （ $\lambda>0$ ），Euler 递推为 $y_{k+1}=(1-h\lambda)y_k$ ；要数值衰减需 $|1-h\lambda|<1$ ，即 $0<h\lambda<2$ 。步长过大会使本来衰减的问题数值爆炸。

综合练习与答案#

求 $\lim_{x\to0}(\sin x-x)/x^3$ 。
$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 的积分是多少？极限与积分在此例可否交换？
求 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ 的唯一全局最小点。
解 $y'=-2y,y(0)=3$ ，并写出 Euler 法的稳定步长范围。
解释为什么 $\int_0^1nf(nx)dx$ 可能不随逐点极限一起趋零。

答案：1. $-1/6$ 。2. 为 $1/(n+1)$ ，趋零；逐点极限只在端点为 1，积分也是零，所以此例可以交换，尽管不一致收敛。一致收敛是充分条件，不是必要条件。3. 梯度 $(2x+y,x+2y)$ ，解得原点；Hessian 特征值为 1、3，正定。4. $3e^{-2t}$ ， $0<h<1$ 。5. 质量可以集中在越来越窄的区域，逐点行为不能控制整体质量；取 $f=\mathbf1_{(0,1)}$ 即得积分恒为 1。