空调只能设一个温度，怎样让一天的偏差最小？#

假设你希望空调上午维持 20°C、下午维持 24°C，两段时间等长；设备却只允许全天设一个温度 $c$。

若用平方误差衡量不满意程度，平均损失为 $[(20-c)^2+(24-c)^2]/2=(c-22)^2+4$。设 22°C 最好。这不是“两个数取平均”的巧合，而是把温度需求投影到“全天恒定”这类允许方案上。

如果下午持续时间是上午三倍，损失就变成 $[(20-c)^2+3(24-c)^2]/4$，最优温度是 23°C。内积里的权重决定什么误差更重要；投影不是脱离应用的纯几何玩具。

最佳常数为何是加权平均#

把空调两段损失推广：目标温度为 $T_i$，持续时间权重为 $w_i>0$ 且总和为 1。损失 $L(c)=\sum_iw_i(T_i-c)^2$。

令 $m=\sum_iw_iT_i$，把 $T_i-c=(T_i-m)+(m-c)$ 代入。因为 $\sum_iw_i(T_i-m)=0$，交叉项消失：

所以最佳常数就是 $m$。这条分解与投影的勾股定理完全同构：总误差等于不可消除部分加上选错常数带来的额外代价。

闭性与凸性具体避免什么问题#

如果设备允许设定 $c<22$，却禁止恰好 22，损失可以越来越接近最小值，却取不到。这是集合没把极限点留下，缺了闭性。

如果设备只许设 20 或 24，两个设定对对称需求一样好，没有唯一最优。这是可行集合不凸，中间折中方案被排除。

Hilbert 投影定理在说：完备环境中，只要可行集合非空、闭、凸，最小距离就能取到且只有一个点。线性子空间给出的更强结构，是最近点与误差之间的正交关系。

再做一个不是常数的拟合#

用直线 $a+bt$ 近似 $t^2$（$0\le t\le1$），平方误差最小的条件是误差同时与 1、$t$ 正交：

积分后得到 $a+b/2=1/3$、$a/2+b/3=1/4$。第二式减第一式的一半，得 $b/12=1/12$，所以 $b=1,a=-1/6$。

你可以把它看成无限多个时间点上的最小二乘。未知参数仍只有两个，数据从有限测量变成整条曲线，求解结构却没有改变。

Riesz 表示把读数仪器变成内部方向#

在欧氏空间里，任何加权评分 $F(x)=a_1x_1+\cdots+a_dx_d$ 都能写成与权重向量的点积。Riesz 表示保证这种关系在 Hilbert 空间中继续成立，只要读数线性且连续。

例如 $F(f)=\int_0^1f(t)(1+t)dt$ 对应内部方向 $y(t)=1+t$。这会让寻找读数、定义伴随和研究优化梯度都统一为内积计算。但若读数本来不连续，如普通 $L^2$ 的单点评价，就没有这个表示可用。

带你做：一组基函数不正交，怎样找最佳近似#

想用 $a+bt$ 近似 $f(t)=1+t^2$。因为 $1$ 与 $t$ 不正交，不能分别读取两个系数后就直接相加。

设置误差与两个允许方向都正交，得到 $a+b/2=4/3$、$a/2+b/3=3/4$。第二式减第一式的一半，得 $b/12=1/12$，所以 $b=1,a=5/6$。

最后核对两项积分都为零。若你得到别的系数，别只比较曲线看着像不像，直接计算这两个正交条件，就能找到错误。

这也说明投影本身与基的选择无关：换成正交基 $1,t-1/2$ 会让计算更方便，但最后的最佳函数仍是 $5/6+t$。坐标可以换，几何答案不能跟着换。

回头整理：定义、工具与练习#