一块圆桌大一点，桌布要多买多少？#

一张圆桌半径 1 米，桌面面积是 $\pi$ 平方米。现在半径增加 1 厘米，面积增加多少？

精确答案是 $\pi(1.01)^2-\pi=0.0201\pi$。如果先把面积的变化当成直线，导数 $A'(r)=2\pi r$ 告诉我们：增加量约为 $2\pi\times1\times0.01=0.02\pi$。

两者只差 $0.0001\pi$ 平方米，也就是约 3.14 平方厘米。Taylor 展开做的事，就是在“线性估计”之后再补上这个二次小修正。以后看到余项，不妨把它理解成：这次少买的那一小块桌布，到底有多大？

不背 Taylor 公式，先自己造一个近似式#

想近似 $e^x$ 在零点附近的值，先猜 $p(x)=a+bx+cx^2$。我们希望它与原函数在零点有相同高度、相同斜率、相同弯曲程度。

第一步，高度匹配：$p(0)=a=e^0=1$。第二步，斜率匹配：$p'(0)=b=1$。第三步，二阶导数匹配：$p''(0)=2c=1$，所以 $c=1/2$。因此近似式不是猜出来的，而是被这三个要求确定：

如果继续加 $dx^3$，三阶导数在零点为 $6d$，于是 $d=1/6$。Taylor 系数里的阶乘，就来自对幂函数反复求导时出现的乘数。

把“附近”落实为数字#

对 $x=0.1$，二阶近似给出 1.105。若想知道能否放心保留三位小数，需要控制漏掉的部分。

在 $[0,0.1]$ 上，三阶导数 $e^x$ 最大不超过 $e^{0.1}<1.106$。余项界给出误差小于 $1.106\times0.1^3/6<0.000185$。这意味着近似非常好，但仅凭此界不能保证四舍五入后的三位小数一定与真值一致；如果近似值靠近舍入边界，还需更细估计。

同一个多项式拿到 $x=5$ 就不可靠。局部近似的能力来自“小范围内余项可控”，不是来自“公式看起来很短”。

导数为零为什么不够#

想在一条路线上找最低处，走到某点发现坡度为零，你可能站在谷底，也可能在山顶，甚至只是经过一段暂时水平的坡。$x^2,-x^2,x^3$ 在零点导数都为零，行为却不同。

第二阶告诉你线性项消失后，主要弯曲朝哪边：$f''>0$ 使附近的二次增量为正。但若二阶也为零，还要继续看更高阶，不能把“不知道”当成“不是极值”。例如 $x^4$ 在零点仍有严格最小值。

中值定理是一张整体保修单#

汽车在一小时里平均速度为 60 km/h，在速度连续的模型下，中间至少有一刻瞬时速度为 60。中值定理把这个朴素想法推广为一般函数。

更常用的不是找出那个时刻，而是估计：如果某段路上瞬时速度绝不超过 80 km/h，那么 0.1 小时内位移不可能超过 8 公里。数学上，只要 $|f'|\le M$，就有 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$。它把局部信息转换成对整段变化的保证。

带你做：不用计算器估计平方根，并给误差#

想算 $\sqrt{1.04}$。把 $f(h)=\sqrt{1+h}$ 在零点展开，先求 $f(0)=1$、$f'(0)=1/2$、$f''(0)=-1/4$，得到二阶近似

代 $h=0.04$，结果为 $1+0.02-0.0002=1.0198$。要知道有多可靠，继续看三阶导数 $f^{(3)}(h)=3/[8(1+h)^{5/2}]$。在 $[0,0.04]$ 上不超过 $3/8$，因此余项不超过 $h^3/16=0.000004$。

所以真值位于 1.019796 到 1.019804 之间；由于三阶导数为正，还可进一步知道真值不小于二阶近似。这里每一步都明确依赖工作区间，不能把同一误差界随意搬到 $h=-0.99$ 附近。

做这题的重点不是心算速度，而是训练一种习惯：近似公式后面主动问“漏掉多少”，并找到能支撑答案的上界。

回头整理：定义、工具与练习#