区间测速和仪表盘，为什么不是一个读数？#

你开车经过一段 2 公里的路，用时 2 分钟。区间平均速度是 60 km/h。但这不能说明你每一刻都开 60：你可能前半段快，后半段慢。

把模型缩小一点：一辆小车行驶 $t$ 秒后的位置为 $s(t)=t^2$ 米。第 2 秒到第 3 秒的平均速度是 $(9-4)/1=5$ 米/秒。第 2 秒到第 2.1 秒则是 $(4.41-4)/0.1=4.1$ 米/秒。

把观察窗口继续缩短，$[s(2+h)-s(2)]/h=4+h$ 会接近 4。于是“第 2 秒这一刻的速度”定义为 4 米/秒。导数就是这个读数；切线是在位置图上记录它的办法。

先算一秒，再算十分之一秒，最后才谈一瞬间#

对位置 $s(t)=t^2$，从时刻 $t$ 到 $t+h$，小车走了

除以真正经过的时间 $h\ne0$，平均速度为 $2t+h$。这里没有把时间“直接变成零”，因为除以零本来就没有定义。我们做的是：对越来越小但非零的 $h$，观察平均速度越来越接近哪个数。

在 $t=2$ 时，可列出一张自己能核算的表：

负的 $h$ 表示往过去看一小段。两侧都靠近 4，因此导数取 4。它不是“某个无限小时间里的商”，而是一串合法平均值的极限。

同一个计算，为什么还能解释切线#

在位置—时间图上，连接 $(t,s(t))$ 与 $(t+h,s(t+h))$，直线斜率正是刚才的平均速度。第二点靠近第一点时，直线趋向局部的切线。于是“速度”和“斜率”不是两个碰巧共用公式的定义，而是同一个差商的物理与几何解释。

但切线不意味着曲线在一段范围内真的变直。对 $t=2$，

线性预测是 $4+4h$，真实误差是 $h^2$。当 $h=0.1$，位置误差为 0.01 米；当 $h=0.01$，误差为 0.0001 米。缩短十倍窗口，线性近似的误差缩小一百倍。这正是它有用的原因。

乘积法则可以从一块桌面长出来#

长方形边长是 $u,v$，分别增加 $\Delta u,\Delta v$。面积新增三部分：一条 $v\Delta u$ 的长条、一条 $u\Delta v$ 的长条，以及角落的 $\Delta u\Delta v$ 小块。

若两边都随时间变化，且 $\Delta u=u'h+o(h)$、$\Delta v=v'h+o(h)$，除以时间 $h$ 后，角落小块的贡献趋零，另外两条留下 $vu'+uv'$。所以 $(uv)'=u'v+uv'$。

这里可以看出一个普遍规则：一阶近似保留“一个小量”，丢掉“两个小量相乘”所产生的更高阶余项。不是因为它们等于零，而是因为除以 $h$ 后它们的贡献趋零。

链式法则是一串比例尺#

烤箱功率旋钮 $x$ 先影响温度 $T=g(x)$，温度再影响某个反应速度 $r=f(T)$。旋钮变一点 $\Delta x$，温度约变 $g'(x)\Delta x$；反应速度再约变 $f'(T)g'(x)\Delta x$。

两段放大率相乘，便得到链式法则。数值例：在工作点，旋钮每单位让温度升 5°C，温度每升 1°C 让反应速度增 2 个单位，那么旋钮每单位的局部影响就是 10 个单位。只有当两段近似都在同一工作点附近成立，这个估计才可靠。

为什么尖角没有导数#

对 $f(x)=|x|$，零点右边的差商为 1，左边为 $-1$。它们各自稳定，却没有共同读数。因此问题不在函数值是否连续，而在有没有一条能够同时解释两边变化的局部直线。下面的正式定义会把“同时解释所有足够小的变化”写为一个极限。

带你做：气球半径增长，体积会怎样增长#

一个理想球形气球的半径 $r$ 以每秒 0.2 厘米增长。半径恰为 5 厘米时，体积每秒增加多少？先分清三个量：时间 $t$、半径 $r(t)$、体积 $V(r)=4\pi r^3/3$。

对半径求导得 $dV/dr=4\pi r^2$，对时间则要再乘 $dr/dt$：

你也可以从薄壳理解：半径增加一小段，相当于表面外面长出一层很薄的体积，约为表面积乘厚度。单位核对是平方厘米乘厘米/秒，正好得到立方厘米/秒。

不要把结果写成半径的增长速度 0.2，也不要只算 $4\pi r^2$ 就停：前者漏掉形状，后者还没把半径变化换成时间变化。链式法则让每一步的输入输出接口都对齐。

回头整理：定义、工具与练习#