先想象一张橡皮网格#

在平面上画横竖网格，再把它整体旋转、拉长或剪切。若原点保持原位，等距平行线仍等距平行，就看到了线性变换的几何样子。矩阵是记录这种变换的一张表。

但“把直线变成直线”还不是足够精确的定义。我们最终要求 $T(au+bv)=aT(u)+bT(v)$。这一个等式同时控制加法、数乘以及所有线性组合。

本课程先在二维和三维里画图，再走向 $\mathbb R^n$，最后指出：多项式、数列和函数也能当向量。这样进入泛函分析时，就不必突然接受一种陌生的“无限维世界”。

学习路线#

与 3Blue1Brown 一起学#

官方专题 The essence of linear algebra 可以作为几何直觉的伴读。建议先看向量、线性组合、线性变换，再读本文对应章节并手算例题。动画帮助你“看见”，定义和反例帮助你判断何时能用。

这里的文字、题目与配图按本课程的顺序独立组织，不依赖某一版字幕或视频时间戳。视频中的几何观点尤其适合前半部分；无限维空间还需要额外的收敛与完备性理论。

两个约定#

默认列向量，矩阵从左侧作用：$Ax$。$ABx$ 表示先做 $B$ 再做 $A$。$A^T$ 为转置；复数情形用共轭转置 $A^*$，并把点积中的转置换为共轭转置。

本套线性代数主要使用实数。泛函分析进入谱理论时会明确转到复数，不会把实数矩阵一定有实特征值当成事实。

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