输入误差会被放大多少#

矩阵把有限向量送到有限向量。算子也做类似工作，只是输入输出可能是函数。

例：积分算子 $(Vf)(t)=\int_0^tf(s)ds$；评价泛函 $E_a(f)=f(a)$；微分算子 $Df=f'$。它们都是线性的，但不一定在所选空间和范数下连续。

连续等价于统一放大界#

线性映射 $T:X\to Y$ 有界指存在 $C$ 使 $\|Tx\|_Y\le C\|x\|_X$。其最小常数为

这个“有界”是单位球像有界，不是要求整个值域有界。非零线性算子对全空间的输出当然可以任意大。

有界直接保证 Lipschitz 连续。反之，若在零点连续，取 $\delta>0$ 使 $\|z\|<\delta$ 时 $\|Tz\|<1$，对非零 $x$ 代入 $z=\delta x/(2\|x\|)$，即可得统一界。因此线性算子的逐点连续问题可化为一个全局常数。

三个范数例子#

在 $C[0,1]$ 的最大范数下，$\|E_a\|=1$。上界由 $|f(a)|\le\|f\|_\infty$ 给出，常数函数 1 达到上界。

同样 $\|V\|=1$，因为 $|(Vf)(t)|\le t\|f\|_\infty$，在 $f=1,t=1$ 取等号。

对 $D:C^1[0,1]\to C[0,1]$，若两边都用最大范数，$f_n(t)=\sin(nt)/n$ 满足 $\|f_n\|_\infty\to0$，但 $\|Df_n\|_\infty=1$，故 $D$ 不连续。若定义域改用 $\|f\|_{C^1}=\|f\|_\infty+\|f'\|_\infty$，它又有界了。

算子本身也形成空间#

所有有界线性映射组成 $\mathcal B(X,Y)$。若 $Y$ 为 Banach 空间，则它在算子范数下也完备，即使 $X$ 不完备。证明依旧分为：对每个输入取极限，检查线性，再用统一估计得到算子范数收敛。

复合满足 $\|ST\|\le\|S\|\|T\|$。若 $\|A\|<1$，Neumann 级数 $\sum_{n=0}^{\infty}A^n$ 在算子范数下收敛，并给出 $(I-A)^{-1}$。

Hilbert 伴随#

有界算子 $T:H\to K$ 存在唯一伴随 $T^*:K\to H$，满足

存在性来自 Riesz 表示。有限维时就是共轭转置，且 $\|T^*\|=\|T\|$。有

第二式中的闭包不能随便删除，像空间未必闭。

练习与解答#

1. $T(x)_n=a_nx_n$ 在 $\ell^2$ 上何时有界，范数多少？
2. 右移算子的伴随是什么？

解答：1. 当且仅当 $\sup|a_n|<\infty$，范数为此上确界；用 $e_n$ 检查必要性。2. 左移。按内积逐项展开即可验证，但右移不是可逆算子，伴随不等于逆。

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