你将解决什么问题#

微积分围绕两件事展开：局部怎样变化，以及局部信息怎样累积成整体。速度是位置的导数，路程是速度的积分；概率密度的累积给出分布函数，损失函数的局部变化引出梯度。

本套笔记不要求先学实分析。每章先给问题，再给定义、例题和练习。需要证明的结论会说明证明；较长的结论会标明“证明思路”，不把直觉当成证明。

阅读顺序#

1. 实数、极限与连续：理解“任意精度”以及极限的量词。
2. 导数与局部线性近似：把导数理解成局部线性近似。
3. 中值定理、Taylor 展开与优化：用中值定理、Taylor 展开分析函数。
4. 定积分与微积分基本定理：理解定积分与微积分基本定理。
5. 积分技巧、反常积分与概率：换元、分部积分、反常积分与概率例子。
6. 级数、幂级数与函数列：数项级数、幂级数以及交换极限的边界。
7. 多变量微分与梯度：偏导、全微分、梯度、Jacobian 与 Hessian。
8. 多重积分、换元与积分次序：多重积分、换元与积分次序。
9. 约束优化与向量分析：约束优化、曲线积分与向量分析。
10. 微分方程、数值方法与复习：常微分方程、数值误差与综合练习。

记号和逻辑#

$\mathbb N=\{1,2,\ldots\}$，$\mathbb R$ 为实数，$\mathbb C$ 为复数。$\forall$ 表示“任意”，$\exists$ 表示“存在”。$A\subseteq B$ 允许 $A=B$。$|x|$ 是绝对值，$\|v\|$ 是向量的范数。

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 指部分和序列的极限，不是已经完成的“无限次加法”。$f_n\to f$ 指一列函数趋于某个函数，必须进一步说明采用哪种收敛。

“若 $P$ 则 $Q$”只保证 $P\Rightarrow Q$；逆命题不自动成立。证明不成立常用反例：可导必连续，但 $|x|$ 在零点连续而不可导。

最小自测#

尝试解释：$\lim_{x\to0}\sin x/x=1$ 为什么不要求函数在零点有定义？为什么 $\int_a^b f$ 可以为负？为什么二维函数在一点有两个偏导仍可能不连续？

前两个问题分别对应“只看附近的去心邻域”和“有符号的累积”；最后一个问题会在第 7 章用具体反例回答。

怎样学完#

建议每次读一节，手算一道例题，合上笔记复述定义，再做练习。第一遍先理解，第二遍补证明。学完第 7 章可以并行阅读线性代数的线性映射与内积章节；完整学习泛函分析前，再完成级数与函数收敛章节。

视频伴读#

3Blue1Brown：微积分的本质开篇 从累积量与变化率的联系出发。建议先看整体问题，再读极限的精确定义。

数学总导航 · 下一章 →