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fisher信息矩阵
2025-08-18
数学
数学

https://blog.csdn.net/wxc971231/article/details/135591016

https://zhuanlan.zhihu.com/p/21436621842

前言#

机器学习本身常常被设计为参数化概率模型 p(x∣θ)p(x|\theta),同过优化损失函数 L\mathcal{L} 来最大化参数表示的似然函数.由于似然函数本身就是一个概率分布,当参数 θ\theta 更新为 θ+d\theta+d 的时候,可以用 KL 散度 KL[p(x∣θ)∣∣p(x∣θ+d)]KL[p(x|\theta)||p(x|\theta+d)] 来度量模型所描述的映射的关系变化程度.这里有两个空间

  1. 分布空间: 模型似然 p(x∣θ)p(x|\theta) 取值的空间,可以用 KL 散度衡量差异
  2. 参数空间: 参数向量 θ\theta 的取值空间.且该空间相对光滑,局部上类似欧几里得空间. 梯度下降的公式为:θk+1=θk−α∇θL(θ+d)\theta_{k+1} = \theta_{k}-\alpha \nabla_{\theta}\mathcal{L}(\theta+d),注意到参数更新的方向是梯度方向,这是参数空间中 θk\theta_{k} 局部最陡峭的下降方向. 在一般的梯度下降中，我们认为目标函数梯度的负方向可以最小化一步更新后的目标函数值，这里隐含地假设了参数空间是欧氏空间，且参数构成了一组正交归一的坐标系统。在很多情况下，这一假设是不成立的，作为结果，优化过程的收敛效率可能受到影响。

海森矩阵#

海森矩阵就是由某个多元函数的二阶偏导构成的方阵,描述了函数的局部曲率,

Hf(x)=[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2⋯∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22⋯∂2f∂x2∂xn⋮⋮⋱⋮∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2⋯∂2f∂xn2]n×n\mathbf{H}_f(\boldsymbol{x}) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}_{n \times n}

这里要求 f 在展开位置附近二阶连续可导,由于二阶偏导可以交换,H 是对称矩阵.

Fisher 信息矩阵#

考虑极大似然估计的过程，目标分布由 θm×1=[θ1,θ2,…,θm]T\theta_{m \times 1} = [\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_m]^T 参数化，首先从目标分布中收集样本 xi∼p(x∣θ)x_i \sim p(x|\theta) 构成数据集 X={x1,x2,…,xn}\mathcal{X} = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}，记为 X∼p(X∣θ)X \sim p(X|\theta)，然后写出对数似然函数：

L(X∣θ)=∑i=1nlog⁡p(xi∣θ)L(X|\theta) = \sum_{i=1}^{n} \log p(x_i|\theta)

通过最大化对数似然函数来得到估计参数，即：

θ^=arg⁡max⁡θ∑i=1nlog⁡p(xi∣θ)\hat{\theta} = \arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^{n} \log p(x_i|\theta)

在取得极值处，应该有梯度为 0，即：

∇θL(X∣θ)=∑i=1n∇θlog⁡p(xi∣θ)\nabla_\theta L(X|\theta) = \sum_{i=1}^{n} \nabla_\theta \log p(x_i|\theta)∇θL(X∣θ)∣θ=θ^=0\nabla_\theta L(X|\theta)\big|_{\theta=\hat{\theta}} = \mathbf{0}

基于以上观察，我们将关于任意样本 xx 的对数似然函数的梯度定义为 得分函数（score function），利用它评估 θ^\hat{\theta} 估计的良好程度：

s(x∣θ)m×1=∇θL(x∣θ)=∇θlog⁡p(x∣θ)s(x|\theta)_{m\times1} = \nabla_\theta L(x|\theta) = \nabla_\theta \log p(x|\theta)
WARNING

这里其实是不严谨的,因此，score function 只是约定俗成的一种名称，其实质就是似然函数的梯度，描述的是似然函数对于参数变化的敏感程度。

注意得分函数是标量对向量 θ\theta 求导，因此 s(x∣θ)s(x|\theta) 是和 θ\theta 相同尺寸的向量。得分函数的重要性质是其期望为 0，即：

Ex∼p(x∣θ)[s(x∣θ)]=0\mathbb{E}_{x \sim p(x|\theta)}[s(x|\theta)] = \mathbf{0}

证明如下：

Ep(x∣θ)[s(x∣θ)]=Ep(x∣θ)[∇log⁡p(x∣θ)]=∫∇log⁡p(x∣θ) p(x∣θ) dx=∫∇p(x∣θ)p(x∣θ) p(x∣θ) dx=∫∇p(x∣θ) dx=∇∫p(x∣θ) dx=∇1=0m×1\begin{aligned} \mathbb{E}_{p(x|\theta)}[s(x|\theta)] &= \mathbb{E}_{p(x|\theta)}[\nabla \log p(x|\theta)] \\ &= \int \nabla \log p(x|\theta) \, p(x|\theta) \, dx \\ &= \int \frac{\nabla p(x|\theta)}{p(x|\theta)} \, p(x|\theta) \, dx \\ &= \int \nabla p(x|\theta) \, dx \\ &= \nabla \int p(x|\theta) \, dx \\ &= \nabla 1 \\ &= \mathbf{0}_{m \times 1} \end{aligned}

因此可以用大量样本的 socre 来评估估计值 θ^\hat{\theta} 的质量,也就是期望越接近 0,估计越精确.

进一步地，参数估计值 θ^\hat{\theta} 的置信度可以由大量样本的 s(x∣θ)s(x|\theta) 协方差来描述，这是一个围绕期望值的不确定度的度量。将以上期望为 0 的结果代入协方差计算公式，得到

Ep(x∣θ)[(s(x∣θ)−0)⋅(s(x∣θ)−0)T]\mathbb{E}_{p(x|\theta)}\left[(s(x|\theta) - \mathbf{0}) \cdot (s(x|\theta) - \mathbf{0})^T\right]

由于得分函数 s(x∣θ)s(x|\theta) 是尺寸为 m×1m \times 1 的向量，以上协方差是尺寸 m×mm \times m 的协方差矩阵，这就是 费舍尔信息矩阵（Fisher information matrix）的定义，它描述了极大似然估计参数值的置信度（不确定度）的信息，整理如下：

F=Ep(x∣θ)[s(x∣θ)⋅s(x∣θ)T]=Ep(x∣θ)[∇θlog⁡p(x∣θ)⋅(∇θlog⁡p(x∣θ))T]≈1n∑i=1n∇θlog⁡p(xi∣θ)⋅(∇θlog⁡p(xi∣θ))T\begin{aligned} \mathbf{F} &= \mathbb{E}_{p(x|\theta)}[s(x|\theta) \cdot s(x|\theta)^T] \\ &= \mathbb{E}_{p(x|\theta)}[\nabla_\theta \log p(x|\theta) \cdot (\nabla_\theta \log p(x|\theta))^T] \\ &\approx \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \nabla_\theta \log p(x_i|\theta) \cdot (\nabla_\theta \log p(x_i|\theta))^T \end{aligned}

海森矩阵和费舍尔矩阵的关系#

费舍尔信息矩阵是对数似然函数的海森矩阵 Hlog⁡(p(x∣θ))H_{\log(p(x|\theta))} 的期望的负值,也就是

F=−Ep(x∣θ)[Hlog⁡(p(x∣θ))]F = -\mathbb{E}_{p(x|\theta)}[H_{\log(p(x|\theta))}]

证明如下

首先根据定义，利用求导法则展开对数似然函数的海森矩阵 Hlog⁡p(x∣θ)\mathbf{H}_{\log p(x|\theta)}：

Hlog⁡p(x∣θ)=∂∂θ(∂log⁡p(x∣θ)∂θ)=∂∂θ(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))=Hp(x∣θ)p(x∣θ)−∇θp(x∣θ)∇θp(x∣θ)Tp(x∣θ)p(x∣θ)=Hp(x∣θ)p(x∣θ)p(x∣θ)2−∇θp(x∣θ)∇θp(x∣θ)Tp(x∣θ)2=Hp(x∣θ)p(x∣θ)−(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))T\begin{aligned} \mathbf{H}_{\log p(x|\theta)} &= \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\partial \log p(x \mid \theta)}{\partial \theta} \right) \\ &= \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right) \\ &= \frac{ \mathbf{H}_{p(x|\theta)} p(x \mid \theta) - \nabla_\theta p(x \mid \theta) \nabla_\theta p(x \mid \theta)^T }{ p(x \mid \theta) p(x \mid \theta) } \\ &= \frac{\mathbf{H}_{p(x|\theta)} p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)^2} - \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta) \nabla_\theta p(x \mid \theta)^T}{p(x \mid \theta)^2} \\ &= \frac{\mathbf{H}_{p(x|\theta)}}{p(x \mid \theta)} - \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right) \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right)^T \end{aligned}

进一步取关于 p(x∣θ)p(x \mid \theta) 的期望，得到：

Ep(x∣θ)[Hlog⁡p(x∣θ)]=Ep(x∣θ)[Hp(x∣θ)p(x∣θ)−(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))T]=Ep(x∣θ)[Hp(x∣θ)p(x∣θ)]−Ep(x∣θ)[(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))(∇θp(x∣θ)p(x∣θ))T]=∫Hp(x∣θ)p(x∣θ)p(x∣θ) dx−Ep(x∣θ)[∇θlog⁡p(x∣θ)⋅∇θlog⁡p(x∣θ)T]=H∫p(x∣θ) dx−F=H1−F=−F\begin{aligned} \mathbb{E}_{p(x \mid \theta)} \left[ \mathbf{H}_{\log p(x|\theta)} \right] &= \mathbb{E}_{p(x \mid \theta)} \left[ \frac{\mathbf{H}_{p(x|\theta)}}{p(x \mid \theta)} - \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right) \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right)^T \right] \\ &= \mathbb{E}_{p(x \mid \theta)} \left[ \frac{\mathbf{H}_{p(x|\theta)}}{p(x \mid \theta)} \right] - \mathbb{E}_{p(x \mid \theta)} \left[ \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right) \left( \frac{\nabla_\theta p(x \mid \theta)}{p(x \mid \theta)} \right)^T \right] \\ &= \int \frac{\mathbf{H}_{p(x|\theta)}}{p(x \mid \theta)} p(x \mid \theta) \, dx - \mathbb{E}_{p(x \mid \theta)} \left[ \nabla_\theta \log p(x \mid \theta) \cdot \nabla_\theta \log p(x \mid \theta)^T \right] \\ &= \mathbf{H}_{\int p(x|\theta)\,dx} - \mathbf{F} \\ &= \mathbf{H}_1 - \mathbf{F} \\ &= -\mathbf{F} \end{aligned}

利用以上关系，在一些优化方法中可以用 F\mathrm{F} 估计 H\mathrm{H}，前者往往计算成本较低

fisher信息矩阵
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作者
F1yingWhite
发布于
2025-08-18
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