无限方向被逐渐压小#

在 $\ell^2$ 上定义 $Kx=(x_1,x_2/2,x_3/3,\ldots)$。越靠后的方向越被压缩。这让所有有界输入的输出，在给定误差下都能主要由有限个坐标描述。

有界线性算子 $K:X\to Y$ 称为紧算子，如果每个有界序列 $(x_n)$ 的像都有一个在 $Y$ 中范数收敛的子列。等价地，单位球像的闭包紧。

有限秩与算子范数极限#

有界有限秩算子是紧的，因为其输出落在有限维空间，那里有界序列可提取收敛子列。

若 $Y$ Banach，紧算子的算子范数极限仍紧。证明思路：对给定精度先用一个紧算子近似，再用有限小球覆盖其单位球像，得到极限算子像的全有界性；闭包在完备值域中完备，因此紧。

对 $K$ 取截断 $K_N$，仅保留前 $N$ 坐标，便有

所以 $K$ 紧。更一般的对角算子 $D_ax=(a_nx_n)$ 在 $\ell^2$ 上紧，当且仅当 $a_n\to0$。必要性可用 $D_ae_n=a_ne_n$ 检查。

单位算子为何不紧#

无限维赋范空间的恒等算子不紧；对 $\ell^2$ 已有 $e_n$ 反例，一般结论可由 Riesz 引理构造保持间距的单位向量序列。

因此无限维 Banach 空间上的紧算子不能拥有定义在整个值域空间上的有界逆。否则恒等算子 $K^{-1}K$ 也是紧的，矛盾。

逆问题里发生了什么#

对 $Kx=y$，逐坐标解是 $x_n=ny_n$，但任意 $y\in\ell^2$ 未必得到 $x\in\ell^2$。即使限制到像空间，逆也不有界。

观测误差 $y^{(n)}=e_n/n$ 满足 $\|y^{(n)}\|\to0$，反解却是 $e_n$，大小不减。反问题的不稳定有明确的方向与放大率，而不是计算机精度不够这一种原因。

截断正则化只恢复前 $N$ 坐标：会留下截断偏差，却限制噪声放大。$N$ 太小漏掉信息，太大又放进高频噪声。

积分算子的紧性#

若 $k\in C([0,1]^2)$，则 $Tf(t)=\int_0^1k(t,s)f(s)ds$ 从 $C[0,1]$ 到自身为紧算子。单位球像一致有界，且由核的一致连续性得到等度连续，再应用 Arzelà–Ascoli 定理。

在 $L^2$ 框架中，平方可积核给出 Hilbert–Schmidt 算子，并且是紧的。证明可用有限和的乘积核在 $L^2$ 中逼近，再用算子范数估计。这里引用这类逼近的标准稠密性结论。

Hilbert 空间上紧算子可由有限秩算子作算子范数逼近；一般 Banach 空间中不能不加近似性质就宣称同一结论。

练习与解答#

1. $a_n=(-1)^n$ 的对角算子紧吗？
2. 紧算子一定有界吗？
3. 有界线性算子与紧算子复合是否仍紧？

解答：1. 不紧，像的标准单位向量保持固定间距。2. 按本章定义已经要求有界；在线性映射中，单位球相对紧本身也保证有界。3. 是，只要复合的定义域和值域匹配，前后任一侧与有界算子复合都保持紧性。

数学总导航 · 本课程目录 · ← 上一章 · 下一章 →